Calendario mensual con dos cubos

Se trata de resolver las siguientes cuestiones:

Calendario mensual con dos cubos 2-1_001

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Todos los números son interesantes, incluso el 1089.

Todos los números son interesantes, incluso el 1089.

Que todos los números (en este post nos referimos a enteros positivos) son interesantes ya lo sabíamos desde hace mucho, y si no es así no hay más que leer a nuestro admirado Martin Gardner. Uno de nuestros lectores, Andrés, también lo piensa. Por ello el año pasado envió a sus amigos el siguiente texto en víspera de su cumpleaños, que este año me ha enviado a mí dedicándomelo en mi 2^5 cumpleaños:

Uno de los axiomas fundamentales de toda la Matemática es el Axioma de buena ordenación, que dice:

Todo conjunto no vacío de enteros positivos contiene un elemento mínimo.

Lo anterior viene a colación porque a veces nos topamos con un número que parece aburrido o poco interesante, pongamos como ejemplo 1089. Veamos qué nos dice el Axioma de buena ordenación acerca de los números que nos parecen no interesantes:

Supongamos que existe por lo menos un número positivo no interesante. Entonces el conjunto de todos los números positivos no interesantes no es vacío y por lo tanto tiene un mínimo: el menor número positivo no interesante, que por ser precisamente el menor número positivo no interesante es interesante. Los números negativos son interesantes ya que su inverso aditivo es un número interesante, y el 0, por múltiples razones, es también un número interesante. Por lo tanto, todos los números enteros son interesantes.

El gran matemático ingles G. H. Hardy no pensaba así hasta que un día, yendo a visitar al hospital a su protegido indio S. Ramanujan, le dijo a éste para entretenerlo:

“…he llegado hasta aquí en un taxi cuyo número de placa me parece poco interesante, 1729”

Ramanujan inmediatamente le contestó:

“¡No Hardy, 1729 es un número muy interesante. Es el menor número entero positivo expresable como la suma de dos cubos en dos formas diferentes:

1729 = 9^3+10^3 = 1^3+12^3!”

El día de mañana cumplo 50 años. 50 es un número muy interesante, es el menor entero positivo expresable como la suma de dos cuadrados de números positivos en dos formas diferentes:

50 = 5^2 + 5^2 = 1^2 + 7^2.

Y en cuanto al primer número que mencioné, el 1089…¡es muy interesante!

Elijan cualquier número de tres dígitos diferentes, digamos 257, inviértanlo, o sea 752, resten el menor del mayor, 752 – 257 = 495 (si les resultó un número de dos dígitos, antepónganle un 0), inviertan sus dígitos y súmenlo con el original, es decir, 594 + 495, ¿y que resulta?, ¡siempre 1089!

Volviendo a mi cumpleaños, no habrá festejo, no me parece interesante, 🙂

Saludos.

Pues sí, es muy interesante el 1089. En Gaussianos ya había aparecido este curioso número, que yo recuerde, en dos ocasiones: en este sumatorio de enlaces protagonizando una campaña de Audi y en este post donde se comentaba la propiedad que nos muestra Andrés al final de su escrito. Aunque en alguno de los comentarios de este artículo ya se daban formas de comprobar que esa propiedad es cierta, quiero terminar esta entrada dando una demostración de este hecho:

Si nuestro número es abc, supongamos que a > c. Este número se puede escribir como 100a+10b+c y, por tanto, su inverso, cba, se puede escribir como 100c+10b+a. Restemos estos números:

100a+10b+c-(100c+10b+a)=99a-99c=99 (a-c)

Llamemos, por comodidad, k a a-c (que seguro que es un número natural entre 1 y 9). La cuestión ahora es invertir el resultado de la resta anterior y sumar lo que se obtenga al invertir al propio resultado de dicha resta. Vamos a expresar entonces 99k de una manera que nos permita conocer cuáles son sus dígitos, para así poder invertir dicho número:

\begin{matrix} 99k=100k-k=100(k-1+1)-k=100(k-1)+100-k= \\  =100(k-1)+90+10-k=100(k-1)+9 \cdot 10+10-k \end{matrix}

Como k está entre 1 y 9, tenemos que 10-k también está entre 1 y 9, por lo que esa es la cifra de las unidades. La cifra de las decenas es 9 y la de las centenas es k-1. El número que resulta al invertir es entonces:

100(10-k)+9 \cdot 10+(k-1)

¿Qué ocurre si sumamos estos dos números? Pues…bueno, mejor veámoslo:

\begin{matrix}[100(k-1)+9 \cdot 10+10-k]+[100(10-k)+9 \cdot 10+(k-1)]= \\  =100(k-1+10-k)+10(9+9)+(10-k+k-1)=100 \cdot 9 + 10 \cdot 18 + 9= \\  =900+180+9=1089 \end{matrix}


Curiosa propiedad numérica la que posee este 1089. Y es que hay números bien extraños en el vasto mundo de los números enteros…

https://www.gaussianos.com/todos-los-numeros-son-interesantes-incluso-el-1089/

Gracias a http://www.gaussianos.com

El problema de Monty Hall

 

Enunciado:

Se ofrece un concurso cuya mecánica es la siguiente:

  • Al concursante se le ofrece la posibilidad de escoger una entre tres puertas. Tras una de ellas se encuentra un coche, y tras las otras dos hay una cabra. El concursante gana el premio que se oculta detrás de la puerta que escoja.
  • Después de que el concursante escoja una puerta, el presentador abre una de las otras dos puertas, mostrando una cabra. Siempre puede hacerlo ya que incluso si el concursante ha escogido una cabra, queda otra entre las puertas que ha descartado y el presentador conoce lo que hay detrás de cada puerta.
  • Entonces, ofrece al concursante la posibilidad de cambiar su elección inicial y escoger la otra puerta que descartó originalmente, que continúa cerrada.

La pregunta oportuna es: ¿debe hacerlo o no?



Solución:
La probabilidad de que el concursante escoja en su primera oportunidad la puerta que oculta el coche es de 1/3, por lo que la probabilidad de que el coche se encuentre en una de las puertas que no ha escogido es de 2/3. ¿Qué cambia cuando el presentador muestra una cabra tras una de las otras dos puertas?

Una suposición errónea es que, una vez sólo queden dos puertas, ambas tienen la misma probabilidad (un 50%) de contener el coche. Es errónea ya que el presentador abre la puerta después de la elección del jugador. Esto es, la elección del jugador afecta a la puerta que abre el presentador. No es un suceso aleatorio ni inconexo.

Si el jugador escoge en su primera opción la puerta que contiene el coche (con una probabilidad de 1/3), entonces el presentador puede abrir cualquiera de las otras dos puertas. Además, el jugador pierde el coche si cambia cuando se le ofrece la oportunidad.

Pero, si el jugador escoge una cabra en su primera opción (con una probabilidad de 2/3), el presentador sólo tiene la opción de abrir una puerta, y esta es la única puerta restante que contiene una cabra. En ese caso, la puerta restante tiene que contener el coche, por lo que cambiando lo gana.

En resumen, si mantiene su elección original gana si escogió originalmente el coche (con probabilidad de 1/3), mientras que si cambia, gana si escogió originalmente una de las dos cabras (con probabilidad de 2/3). Por lo tanto, el concursante debe cambiar su elección si quiere maximizar la probabilidad de ganar el coche.